RELAZIONI E FUNZIONI Il comportamento della funzione agli estremi di un intervallo aperto (a ; b) dove è definita si ricava considerando i limiti: lim f(x) e lim f(x) x a x b Se il risultato è un limite finito, allora il grafico della funzione ha in corrispondenza una lacuna; è privo del punto così individuato. Per esempio, se lim f(x) = l x a allora (a ; l) è un punto a cui il grafico tende, ma che non gli appartiene. y l O a b x Se è un limite infinito, allora il grafico della funzione ha in corrispondenza un asintoto verticale. Per esempio, se lim f(x) = allora il grafico ha la retta x = a x a come asintoto verticale. A volte può essere necessario stabilire se, per x tendente ad a da destra o da sinistra, la funzione tende a + o a . y O 308 y a b x O a b x Le proprietà di simmetria del grafico della funzione si ricavano spesso dalla sua espressione algebrica: se per ogni x del suo insieme di definizione f( x) = f(x) la funzione è simmetrica rispetto all asse delle ordinate, se f( x) = f(x) la funzione è simmetrica rispetto all origine. Gli zeri della funzione si ottengono risolvendo la corrispondente equazione f(x) = 0: sappiamo che gli zeri della funzione sono i punti di intersezione del grafico con l asse delle ascisse. utile ricavare anche l intersezione con l asse delle ordinate che si ottiene semplicemente assegnando alla variabile x il valore 0. Il segno della funzione (cioè la sua positività o negatività) si ricava risolvendo la disequazione f(x) > 0. Individuiamo così gli intervalli in corrispondenza dei quali il grafico della funzione è al di sopra dell asse delle ascisse e, conseguentemente, quelli in corrispondenza dei quali è al di sotto. Il segno della derivata indica in quali intervalli la funzione è crescente (la derivata è positiva: f (x) > 0) e in quali è decrescente (la derivata è negativa: f (x) < 0). In corrispondenza dei valori per i quali la funzione esiste, è derivabile e la sua derivata è 0 si hanno i punti stazionari. (f (x) = 0). Occorrerà stabilire qual è l andamento della funzione in prossimità di ciascuno di essi, per poter definire la natura del punto.