6 Derivate e grafici Possiamo così scrivere l equazione della retta: y = mx + q che rappresenta l asintoto obliquo. APPROFONDIMENTO A possibile dimostrare quanto precedentemente affermato. Cioè che la retta di equazione y = mx + q è asintoto per la funzione y = f (x) se f (x) m = lim ___ e q = lim (f (x) mx). x x x Sappiamo che una retta di equazione y = mx + q è asintoto per la funzione y = f (x) se la distanza tra la retta e il grafico della funzione tende a 0 per x tendente all infinito, cioè se lim (f (x) (mx + q)) = 0. x Per i teoremi sul calcolo dei limiti: lim (f (x) (mx + q)) = 0 lim (f (x) mx q) = 0 lim (f (x) mx) = q. x x x f (x) (mx + q) Inoltre, se lim (f (x) (mx + q)) = 0, anche lim ____________ = 0. ) x x ( x f___ f___ (x) (mx + q) f____________ mx + q q (x) ______ (x) Ma lim = lim = lim m __ = 0. ) x ( x x ( x) x x ) x ( x q __ Poiché per x tendente a l espressione tende a 0, deve essere: x f (x) f (x) lim ___ m = 0, cioè lim ___ = m. ) x ( x x x esempio O Determina nuovamente, con la procedura spiegata nell approfondimento, f(x) x2 1 l asintoto obliquo della funzione y = ______ , determinando m = lim ___ e x x x 2 q = lim f(x) mx. x Abbiamo: y x2 1 lim _ = lim ______ =1 x x x x2 2x Quindi, m = 1. Verifichiamo anche l ultima condizione (relativa al termine noto): x2 1 2x 1 lim (y mx) = lim ______ x = lim ______ = 2 x x ( x 2 ) x x 2 La retta y = x + 2 è quindi un asintoto obliquo (sia sinistro sia destro) per la funzione. PROVA TU P D Determina gli eventuali asintoti delle funzioni: 2 x3 16 a. y = _________ x2 x 2 _ 4 x 1 b. y = ________ 2 x 3 Le derivate successive Sappiamo che la derivata di una funzione reale è una nuova funzione che, a sua volta, può essere derivabile: di una stessa funzione è possibile così considerare le successive derivate. Dal punto di vista del calcolo e delle proprietà, la derivata della derivata di una funzione non pone problemi nuovi; dal punto di vista geometrico, essa fornisce ulteriori informazioni circa l andamento grafico di una funzione. Data una funzione reale y = f(x) di variabile reale, la sua derivata si chiama anche derivata prima; questa specificazione ordinale è utile quando vogliamo considerare anche la derivata della derivata, la derivata della derivata della derivata, e così via. La derivata della derivata prima si chiama infatti derivata seconda: essa è anche indicata con D(2)f, oppure con y o con f . In generale, possiamo parlare di derivata n-esima di una funzione, indicandola con D(n) oppure y(n), oppure ancora scrivendo tanti apici quanto è l ordine della derivata. ATTENZIONE! A L L apice nei simboli y e f indica espressamente che si tratta di derivata prima. Se si utilizza l operatore D, è l assenza di indici a segnalare che si tratta di derivata prima. 327