RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 384 3 Problemi e funzioni Molti problemi matematici o fisici portano alla considerazione di una grandezza che varia in funzione di un altra e, quindi, allo studio della funzione che lega variabile indipendente e variabile dipendente. Per questo gli strumenti introdotti dal calcolo infinitesimale e la rappresentazione grafica di una funzione, con l evidenziazione dei suoi punti caratteristici sono particolarmente utili. In questo paragrafo esaminiamo alcuni esempi e ci soffermiamo poi su un particolare tipo di problemi: quelli il cui obiettivo è individuare quando una data variabile in un dato contesto ha valore massimo (o minimo) e quale sia tale valore. Le funzioni e la risoluzione dei problemi Analizziamo la seguente situazione che può presentarsi in un problema di cinematica. Da una torre a pianta circolare (di raggio r) escono contemporaneamente due persone, che camminano a velocità non necessariamente uguale: una esce dal lato sud e si dirige verso est; l altra esce dal lato nord e si dirige verso nord. Dopo che la prima ha percorso x metri e la seconda y metri, esse possono vedersi. Studia l andamento di y in funzione di x. Rappresentiamo schematicamente la situazione descritta con una circonferenza di centro C indicando con N e S le porte della torre a nord e a sud e con P e Q le posizioni delle due persone: P a destra di S (esce dal lato sud e si dirige verso est) e Q sopra N (esce dal lato nord e si dirige verso nord). Il problema è il travestimento di una situazione geometrica legata alla retta tangente a una circonferenza: nel momento in cui le due persone P e Q si vedono, la retta passante per le rispettive posizioni delle per le due persone è tangente alla parete della torre. Facendo riferimento alla figura disegnata, il problema chiede di determinare la lunghezza del segmento y = NQ in funzione della lunghezza del segmento x = SP. Poiché le grandezze x e y sono lunghezze, devono essere non negative. Q N T C S ATTENZIONE! A P Poiché consideriamole lunghezze dei segmenti e operiamo algebricamente con tali misure, soprasegniamo con una lineetta gli estremi dei segmenti considerati. Una volta compresa la richiesta del problema, è possibile determinare la soluzione matematica. Indicato con C il centro della circonferenza e con T il punto di tangenza, si ottiene il triangolo QCT, che è simile al triangolo QSP (triangoli rettangoli con l angolo in Q in comune). Possiamo scrivere la proporzione tra i lati corrispondenti: SP : QS = CT : TQ QS CT cioè: TQ = _______ SP 338 P