RELAZIONI E FUNZIONI TEOREMA La somma di n numeri positivi, il cui prodotto è p, è minima se gli n numeri sono uguali. Da un punto di vista geometrico quindi, il primo teorema assicura che tra le figure di dato perimetro cioè isoperimetriche è quella regolare, con tutti i lati di uguale lunghezza, ad avere area massima. Tale affermazione può essere estesa al caso della circonferenza, se consideriamo questa come poligono regolare limite, con infiniti lati. Il secondo teorema assicura che in un insieme di poligoni di n lati aventi la stessa area cioè equiestesi è quello regolare ad avere perimetro minimo. Grazie a questi risultati è possibile risolvere molti problemi di massimo o di minimo, che sono sintetizzati nella seguente affermazione: La media geometrica di n numeri positivi è minore o al più uguale alla loro media aritmetica (ed è uguale quando gli n numeri sono uguali): _________________ x1 + x2 + x3 + +xn n x1 x2 x3 xn __________________ n Applichiamo le proprietà qui considerate ad alcuni problemi. Fra i triangoli rettangoli di ipotenusa assegnata determina quello per il quale è massima l altezza relativa all ipotenusa. La soluzione del problema è immediata se teniamo presente la costruzione geometrica di un triangolo rettangolo, data l ipotenusa: sono rettangoli tutti i triangoli che hanno il terzo vertice sulla semicirconferenza avente come diametro l ipotenusa. Quello di altezza massima sarà quindi quello che ha il vertice nel punto più alto della semicirconferenza rispetto all ipotenusa, cioè il triangolo rettangolo isoscele. 90° 90° 90° Osserviamo che la costruzione geometrica facilita la soluzione del problema. Se avessimo voluto risolvere il problema analiticamente, esprimendo l altezza in funzione dell ipotenusa, la funzione di cui ricercare il massimo sarebbe stata di quarto grado e avrebbe portato a calcoli complessi. Vogliamo dividere uno spago di lunghezza l in due parti. Con la prima costruiamo una circonferenza e con la seconda un quadrato. Quale deve essere il rapporto fra le due lunghezze affinché la somma delle due aree ottenute sia minima? E quale affinché sia massima? Rappresentiamo lo spago come un segmento di lunghezza l e dividiamolo in due parti, di cui una rappresenta la lunghezza della circonferenza e l altra il perimetro del quadrato. l x 344 x