6 Derivate e grafici h Il punto P appartiene alla retta y = __x + h. r (0; h) y P(x; y) y= h x+h r O x h Il volume del cilindro è (in funzione di x): V(x) = y x2 = ( __x + h)x2 r V(x) In corrispondenza del valore massimo di V(x), è massima anche la grandezza ____. h 1 Basta, quindi, cercare il massimo della funzione: v(x) = __x3 + x2 r una funzione polinomiale di terzo grado, il cui grafico è tangente all asse delle ascisse nell origine e ha l altro zero nel punto di ascissa r: v(x) O 2r 3 r x Poiché 0 < x < r, l arco che interessa è quello evidenziato in colore. Derivando, otteniamo: 2 3 v (x) = __x2 + 2x si ha v (x) = 0 per x = 0 o x = __r r 3 Per x = 0 il volume v(x) è minimo (il cilindro degenera e il suo volume è 0); per 2 2 x = __r il volume è massimo: in questo caso il raggio del cilindro è __ di quello del 3 3 4 r2h cono e il volume è _____. 27 APPROFONDIMENTO A L rappresentazione di un problema tridimensionale attraverso un opportuna sezione piana è spesso La di aiuto nella scelta delle incognite e nella soluzione. Questa possibilità non deve però trarre in inganno: l aver schematizzato un problema di geometria dello spazio con un disegno piano non vuol dire che il problema dato sia equivalente a quello rappresentato. In quest ultimo problema, per esempio, non avremmo la stessa soluzione se chiedessimo di inscrivere un rettangolo di area massima in un triangolo isoscele di altezza h e base 2r. L area A, infatti, è funzione di secondo grado e non di terzo, per la sua espressione abbiamo infatti: h 1 A(x) = 2( __x2 + hx) = 2h( __x2 + x) r r 2__ A (x) = 2h( x + 1) r r A (x) = 0 per x = __ 2 Il valore di x che rende massima l area del rettangolo-sezione è diverso dal valore di x che rende massimo il volume del corrispondente cilindro. 349