6 ESERCIZI Derivate e grafici Lo studio delle funzioni razionali frazionarie Disegna il grafico delle seguenti funzioni razionali frazionarie. Per disegnare il grafico delle funzioni date esamina l insieme di definizione, il comportamento agli estremi dell intervallo in cui la funzione è definita, le proprietà di simmetria. Per ogni funzione, individua gli eventuali asintoti e i punti stazionari, specificando se si tratta di un massimo, di un minimo o di un punto di flesso. esercizio svolto x 3 y = ______ x2 4 L insieme di definizione della funzione è R { 2, 2} e il grafico non presenta particolari simmetrie; poiché: x 3 , da cui f( x) f(x) e f( x) f(x) f( x) = ______ x2 4 Poiché: x 3 x 3 = e lim ______ = lim ______ x 2 x2 4 x 2 x2 4 le rette x = 2 e x = 2 sono asintoti verticali. Essendo inoltre: x 3 lim ______ = 0 4 l asse x è asintoto orizzontale. x x2 Ricerchiamo in quali intervalli la funzione è positiva: Q il numeratore è positivo se x > 3; Q il denominatore è positivo se x 2; Q il loro quoziente è positivo quando sono dello stesso segno, per 2 3: 2 0 2 3 + N D + + + y = f (x) + + R Quindi: lim y = ; x 2 lim y = + ; x 2+ lim y = + ; x 2 lim y = x 2+ Il grafico della funzione ha un solo zero reale: x = 3; la sua derivata è: x2 + 6x 4 x2 4 2x2 + 6x ____________ = y = _______________ 2 2 (x 4) (x2 4)2 Studiamone il segno: __ __ il numeratore è positivo per 3 5 < x < 3 + 5; Q il denominatore è positivo per ogni x appartenente all insieme di definizione, quindi: Q 3 5 2 3+ 5 2 N + + D + + + + + y = f (x) + + R 365