7 Calcolo delle primitive L insieme delle funzioni primitive di una funzione f è detto integrale indefinito della funzione f. DEFINIZIONE L integrale indefinito di una funzione f è l insieme delle sue funzioni primitive. Esso si indica con il simbolo: f(x) dx KEYWORDS K in integrale indefinito / indefinite integral Il simbolo dx indica la variabile coinvolta nella derivazione e, quindi, quella rispetto alla quale ricerchiamo le primitive della funzione. La ricerca delle primitive di una funzione f è, conseguentemente, detta integrazione della funzione f. Con l espressione integrare una funzione, che spesso utilizzeremo anche in queste pagine si intende, quindi, individuare l insieme delle sue primitive. esempio O Calcola: a. b. c. x dx cosx dx _1_ dx x In tutti e tre i casi si tratta di individuare l insieme delle primitive di una data funzione. x2 2x x2 a. Poiché D __ = ___ = x x dx = __ + k (2) 2 2 b. Poiché D(senx) = cosx 1 c. Poiché D(lnx) = __ x cosx dx = senx + k _1_ dx = lnx + k x 1 Consideriamo l esempio c. La relazione __ dx = lnx + k vale solo se x > 0 x perché soltanto sotto tale condizione è definita la funzione logaritmo. 1 1 Se x < 0 è però definita la funzione y = ln( x) e la sua derivata è ___ = __. x x Quindi, complessivamente, scriviamo: ATTENZIONE! A SSottintendiamo sempre k R. _1_ dx = ln|x| + k x Analogamente a quanto fatto per le derivate, individueremo ora le primitive delle funzioni fondamentali e stabiliremo alcune regole operative per individuare le primitive di funzioni meno semplici. La prima proprietà che ricaviamo discende dalla seguente: la derivata di una somma o di una differenza è uguale alla somma o alla differenza delle derivate. 391