7 Calcolo delle primitive Le primitive delle funzioni fondamentali Per ricercare le primitive delle funzioni fondamentali è, dunque, importante ricordare le loro derivate. Come per le derivate e le relative proprietà abbiamo introdotto, per semplicità di scrittura, l operatore D (che indica derivata di) così per le primitive introduciamo l operatore P (che indica primitive di) che associa a una funzione l insieme delle sue primitive: P f (x) f(x) dx Per semplificare ulteriormente la scrittura tralasciamo inoltre, nelle regole che seguono, la costante k ma non dimentichiamo che le primitive indicate devono essere sempre considerate a meno di una costante additiva k R. 1. Se a R, D(ax) = a, quindi P(a) = ax. In particolare P(0) = k. 2. Se n Z, D(xn) = n xn 1. Si ha P(n xn 1) = xn , ma per il teorema precedente P(n xn 1) = n P(xn 1), xn quindi: P(xn 1) = __ n m+1 x In generale, P(xm) = _____. m+1 Questa regola vale per ogni m Z diverso da 1: per m = 1, si avrebbe in1 fatti l espressione __ che non è definita nell insieme dei reali. 0 1 1 Se m = 1, allora x 1 = _ e abbiamo visto in un esempio precedente che _ dx = x x ln|x|. ATTENZIONE! A LLa regola di integrazione xm+1 P(xm) = _____ vale per ogni m+1 m R, con m 1, poiché abbiamo visto nell unità 5 al paragrafo 5 che vale la regola di derivazione di una potenza a esponente reale con la condizione che x > 0. 3. Poiché D(senx) = cosx, allora P(cosx) = senx. 4. Analogamente, da D(cosx) = senx, ricaviamo P(senx) = cosx. 1 5. Poiché D(tanx) = 1 + tan2x = _____ , abbiamo che cos2x 1 P(1 + tan2x) = P _____ (cos2x) = tanx Non sappiamo invece trovare immediatamente una primitiva di y = tanx giacché non individuiamo in modo elementare una funzione la cui derivata sia y = tanx. 6. Poiché D(ex) = ex, anche P(ex) = ex. esempio O Individua l insieme delle primitive della funzione y = 2 x2 + ex. La primitiva di una somma è uguale alla somma delle primitive quindi: 2 x2 + ex) dx = 2 x2 dx + ex dx ( Inoltre: 2 2 x dx = 2 x dx = _ x3 + k 2 2 3 ex dx = ex + k Quindi, l insieme delle primitive è dato dalle funzioni: 2 y = _ x3 + ex + k 3 (con k R) ATTENZIONE! A N che, scrivendo: P(f) + P(g), Nota indichiamo la somma di due insiemi di funzioni. Se abbiamo: P(f) = F + k P(g) = G + k allora k indica una qualunque costante reale. Sommando le primitive, lasciamo la costante indicata con k: P(f) + P(g) = F + G + k 393