RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 000 2 Il teorema fondamentale del calcolo integrale L integrale definito y O a b x My English lesson page 412 Nell unità 4 abbiamo sviluppato una pur breve riflessione sulla difficoltà di misurare quando si ha a che fare con linee curve: difficile stabilire la lunghezza di una linea curva oppure l area di una superficie dai contorni curvilinei o il volume di un solido la cui forma non presenta alcuna di quelle regolarità che rendono le formule geometriche così facili da applicare. Sono formule facili, ma poco utili da misurare e descrivere, per esempio, le forme della natura. Spesso, infatti, noi associamo le forme naturali a forme geometriche astratte, che sono ben più regolari e rifinite di quelle reali. Diciamo che una foglia ha forma ellittica, anche se ciascuna foglia non sarà mai un ellisse, ma qualcosa che a essa assomiglia molto. Così come parliamo di forme triangolari, o diciamo che un vulcano ha forma conica, sapendo, anche in questo caso che si tratta di una nostra approssimazione per poter applicare con più facilità le formule della geometria. Eppure, il desiderio di costruire una geometria che si adegui alle forme del reale, a quelle cioè che si trovano in natura, è da sempre un aspirazione di chi vuole impiegare gli strumenti matematici per interpretare fenomeni reali. In anni recenti un grande matematico Beno t B. Mandelbrot (1924-2010) ha ricercato nuove strade della geometria proprio perché questa potesse adeguarsi alle irregolarità del mondo naturale: «Quanto è lunga la costa della Bretagna? è una domanda che si è posto non accontentandosi di una misura della strada costiera o di quella ricavabile dalla triangolazione su una mappa, ma cercando di andare nel dettaglio in una situazione in cui ogni piccolo tratto contiene un insenatura o una sporgenza, che a loro volta sono fatte di altre insenature e altre sporgenze e così via. A lui si deve l introduzione di questo sguardo geometrico microscopico che appartiene a un ambito geometrico ormai ben noto e applicato in più campi: la geometria dei frattali. Ma la misura delle forme più irregolari ha coinvolto i matematici sin dall antichità e gli sviluppi del calcolo infinitesimale hanno dato un contributo fondamentale in tal senso. In particolare il calcolo integrale. Noi ci limitiamo qui a considerare l impiego più semplice: quello per il calcolo dell area della superficie compresa tra il tratto di grafico di una funzione, in un intervallo [a ; b] e l asse delle ascisse (figura a lato). I protagonisti della matematica Beno t Mandelbrot (1924-2010) è stato un matematico francese di origine polacca. Ha vissuto in Francia sin dalla giovinezza perché la famiglia lasciò la Polonia stabilendosi a Parigi per sfuggire alle persecuzioni naziste. Docente e ricercatore in varie università (Princeton, 1953-54; Ginevra, 1955-57; Harvard, 1962-64 e 1979-87; Yale dal 1987) e presso il Massachusetts Institute of Technology (MIT, 1953-71), ha dato rilevanti contributi in ambito matematico e fisico. 396 Ha sviluppato gli studi di un altro matematico francese, Gaston Julia (1893-1978), e ha fondato la cosiddetta geometria frattale, dando il proprio nome a una famiglia di frattali (detti appunto frattali di Mandelbrot) e a un particolare insieme (insieme di Maldenbrot) di semplice definizione, ma rappresentabile con una forma molto complessa. Nel 1993 gli è stato conferito il Premio Wolf per la fisica «per aver trasformato la nostra visione della natura .