DATI E PREVISIONI Gli esiti delle singole estrazioni sono indipendenti l uno dall altro e perciò la probabilità che sia estratta esattamente tre volte una pallina bianca, per esempio nelle prime tre estrazioni, è: 2 2 2 2 3 p(B1 e B2 e B3) = __ __ __ = (__) 5 5 5 5 La probabilità che l evento non si verifichi in una estrazione è invece: 3 p(non¯ Bi) = __ 5 L ordine con cui si verifica per tre volte l evento Bi non è importante; occorre perciò riferirsi alle diverse posizioni ordinate che i tre eventi possono assumere su una sequenza di quattro (qui di seguito, come nel precedente grafo ad albero, l eB): vento complementare di B è indicato con ¯ B BB¯ BB B¯ BBB ¯ BBBB BBB¯ Il numero totale di tali raggruppamenti è uguale al numero dei sottoinsiemi di 3 elementi di un insieme di 4 elementi: è cioè il numero delle combinazioni di 4 elementi di classe 3. Se indichiamo con X la variabile aleatoria «numero di palline bianche estratte su quattro , abbiamo perciò: ATTENZIONE! A n Ricorda che il coefficiente ( ) si k chiama coefficiente binomiale: n n! ________ (k) = k! (n k)! 2 3 3 2 3 3 p(X = 3) = (4) (__) (__) = 4 (__) (__) = 0,1536 3 5 5 5 5 Possiamo generalizzare quanto fin qui visto nell esempio. Consideriamo n successive prove indipendenti e a ogni prova l evento E abbia probabilità p di verificarsi (successo = 1) e q = 1 p di non verificarsi (insuccesso = 0). Costruiamo così la seguente variabile binomiale: Xi = [ 0 1 p 1 p] Su n prove indipendenti consideriamo le seguenti probabilità: p(X = 0): l evento E non si verifica mai; p(X = 1): l evento E si verifica esattamente 1 volta; p(X = k): l evento E si verifica esattamente k volte; p(X = n): l evento E si verifica sempre. Tali probabilità si calcolano attraverso la cosiddetta formula di Bernoulli, relativa alla probabilità di avere k successi su n prove indipendenti. TEOREMA (formula di Bernoulli) Considerato un evento E relativo a un determinato esperimento, la probabilità che, su n prove indipendenti condotte tutte nelle medesime condizioni, si abbiano k successi, con k n, è: n p(X = k) = ( ) pkq n k k In questa formula, X indica la variabile aleatoria che conta il numero di successi, p la probabilità del singolo evento E, costante in tutte le prove, e q la probabilità dell evento nonE. 444