DATI E PREVISIONI In questa distribuzione, come in quella relativa alla probabilità dell evento relativo al numero di teste uscito su n prove, l istogramma di rappresentazione ha una forma simile. All aumentare delle classi considerate (e, quindi, alla riduzione dell ampiezza di ciascuna di esse) si avvicina sempre più a quella di una curva a forma di campana, di fondamentale importanza in statistica. Possiamo osservare che anche la distribuzione della variabile aleatoria X = «numero di volte che è uscito 1 oppure 2 in n successivi lanci di un dado non truccato , assume un andamento a campana se effettuiamo un numero grande di lanci. probabilità Simulazione di 25 lanci di un dado. Evento atteso: uscita dell 1 o del 2 ( p = 1/3) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 numero di successi 18 20 22 24 Come abbiamo osservato all inizio di questa unità, molte variabili aleatorie che descrivono fenomeni che mutano nel tempo sono in realtà variabili continue, anche se considerando classi di valori possibili ne diamo una rappresentazione discreta. La considerazione di un numero sempre maggiore di classi, di ampiezza quindi sempre minore, approssima gradualmente il loro andamento continuo. KEYWORDS K di distribuzione normale / normal distribution ATTENZIONE! A Si la media della variabile Sia aleatoria X, sia il suo scarto quadratico medio sono funzioni di X. Quindi, indicando con M(X) la media, si ha: = M(X) e = (X). 1__ = _____ e 2 (2 X )2 ___________ 2 2 ( X + ) ___________ 2 1__ e = _____ 2 1__ e = _____ 2 = f(X) 456 La distribuzione di probabilità continua approssimata dalle precedenti successive distribuzioni discrete, la cui rappresentazione si avvicina sempre più a una curva a forma di campana, è detta distribuzione normale. La distribuzione normale di probabilità di una variabile aleatoria continua è, quindi, rappresentata da un andamento grafico di questo tipo. Indicando con X tale variabile, con la sua media e con il suo scarto quadratico medio, il suo grafico è descritto dalla funzione: (X )2 _______ 2 2 1 ___ e f(X) = _______ 2 ATTENZIONE! A f(2 X) = f(2 La distribuzione di probabilità continua può essere, quindi, considerata a partire dal modello discreto di distribuzione, al tendere a infinito del numero di classi considerate e, quindi, al tendere a zero dell ampiezza di ciascuna di esse. In sintesi, si tratta di far ricorso, almeno concettualmente, ai principi del calcolo infinitesimale. Possiamo così considerare la distribuzione di probabilità come una funzione e il suo andamento grafico come una linea continua. 2 2 (X )2 ___________ 2 2 Di questa funzione, la cui espressione non è semplice e che indichiamo qui senza ulteriore dimostrazione, possiamo stabilire alcune caratteristiche: Q è definita per ogni x R; Q l incognita X compare solo a esponente e, quindi, la funzione assume valori sempre positivi; Q se sostituiamo alla variabile X l espressione 2 X, la funzione resta invariata (come puoi verificare nel calcolo sviluppato qui a lato). Ricorderai (volume 3, unità 3 par. 1) che se si esegue la simmetria rispetto a una retta parallela all asse delle ordinate, di equazione x = k, a un qualsiasi punto