ggere gere di ge Le geometrie La geometria è stata la prima scienza ad avere una sistemazione logico-deduttiva e tale sistemazione ha costituto per secoli un modello anche per altre scienze. L opera di Euclide, Elementi, collocabile intorno al 300 a.C., diede definitiva sistemazione ad abilità geometriche precedenti nonché a risultati già rigorosamente raggiunti: basti pensare che i risultati di Talete di Mileto (da cui l omonimo teorema) sono di tre secoli precedenti. Essa rappresentò così il punto di sistemazione delle conoscenze geometriche elementari e aprì la strada a ricerche di carattere superiore, quali quelle di Archimede (il cui metodo per il calcolo dei volumi è stato considerato nell unità 4) e di Apollonio di Perga (di cui abbiamo ricordato il contributo allo studio delle sezioni coniche nel volume 3). In realtà, tuttavia, è solo attorno al secondo secolo a.C. che l opera euclidea Elementi iniziò a essere considerata fondamentale per la matematica. Non solo, ma negli anni successivi cessò di essere commentata dai matematici del periodo e andò persa nella sua integrità. Molti secoli dopo Elementi raggiunse l Europa medievale e poi rinascimentale sostanzialmente attraverso tre vie: traduzioni latine di molti frammenti originali e ritenuti tali, traduzioni in latino di numerose versioni arabe; edizioni o traduzioni, prima in latino e successivamente in volgare di versioni greche. Così recuperata, l opera ebbe un impatto fortissimo nella cultura rinascimentale e costituì da allora la base del sapere matematico almeno fino alla fine del secolo XIX, ritenendola il modello fondamentale del ragionare rigorosamente. Non è un caso che solo la Bibbia superi per numero di edizioni l opera di Euclide. Il progetto di Euclide nella sua opera è dimostrare le proprietà geometriche a partire da 23 definizioni di enti geometrici fondamentali che chiama enti primitivi il punto, la retta, il piano, l angolo , da cinque assiomi che enuncia come verità generali (per esempio, «Il tutto è maggiore della parte ) e da cinque postulati che sono affermazioni specifiche relative alla geometria (per esempio, «Dati due punti si può tracciare una retta che li congiunge ). A partire da questi si sviluppa una catena di affermazioni ognuna logicamente dipendente dalla precedente fino a giungere alla proprietà che è così dimostrata. Per Euclide assiomi e postulati che nel linguaggio attuale sono considerati come sinonimi sono verità evidenti, accettate da tutti proprio perché riguardano oggetti effettivamente costruibili, disegnabili con riga e compasso. Euclide, per esempio, non introduce la retta come un ente di lunghezza infinita, ma postula che ogni segmento possa essere prolungato quanto si vuole. Ciò gli è sufficiente per dimostrare i successivi teoremi senza introdurre caratteristiche che non siano costruttive: una retta infinita non potrebbe infatti essere effettivamente disegnata. Tuttavia e qui sta la difficoltà, più di ordine filosofico che matematico , per dimostrare alcuni teoremi che risultano essenziali nello studio delle figure piane più elementari, Euclide è costretto a introdurre un postulato il quinto che, pur coerente con il senso comune, non presenta tuttavia quel carattere costruttivo ed evidente da lui stesso richiesto. Tra l altro, per dimostrare le prime 28 proposizioni (teoremi) nel I libro di Elementi, egli non utilizza il V postulato; questo compare a partire dalla dimostrazione della proposizione 29 che è: «Una retta che cada su due rette parallele forma gli angoli alterni uguali tra loro, 472 2