i matem L eggere di matematica Così, nel corso del suo sviluppo, la matematica è diventata sempre più marcatamente una disciplina che si esprime per simboli e formule. Perché attraverso di essi esprime proprietà che hanno valore generale. Per esempio: 3 è un segno, il simbolo arabo per il numero astratto tre , che un greco antico avrebbe indicato con e un romano con III; analogamente per i segni che indicano, per esempio, 2 e 1; + è un segno che fa da simbolo all operazione di addizione e che via via si è affermato rispetto a parole più esplicite: in realtà è una contrazione codificata della parola latina plus; > è un segno che simboleggia la relazione essere maggiore. Il simbolo è una evidente trasformazione del simbolo di uguaglianza =, così come il simbolo < indica la contrazione opposta e cioè la relazione essere minore. La scrittura 2 + 1 = 3 è così per tutti noi facilmente comprensibile nel suo significato che va al di là della scrittura simbolica. Proprio sul ricorso continuo della matematica al simbolismo, il filosofo e matematico inglese Alfred North Whitehead (1861-1947) scrisse, riferendosi a quello algebrico: «la civiltà progredisce a mano a mano che si va estendendo il numero delle attività importanti che noi riusciamo a compiere senza pensarci . Questa frase può sembrare paradossale, ma possiamo capirne meglio il senso leggendo questo estratto dall opera An introduction to mathematics (Introduzione alla matematica) scritta nel 1911. S pesso si considera la matematica come una scienza difficile e misteriosa a causa dei numerosi simboli che essa adopera. Naturalmente non vi è nulla che sia più incomprensibile di un simbolismo a noi ignoto. Inoltre è pure difficile seguire un simbolismo che ci sia noto solo parzialmente e che noi non siamo abituati ad usare. Esattamente nello stesso modo i termini tecnici di qualsiasi professione sono incomprensibili per coloro che non hanno appreso ad usarli. Ma la causa di ciò non è che essi siano difficili in se stessi, anzi, essi vengono sempre introdotti allo scopo di facilitare le cose. Così in matematica, ammesso che noi prestiamo una seria attenzione ai concetti matematici, il simbolismo viene invariabilmente a costituire una immensa semplificazione. Esso non è soltanto praticamente utile, ma è anche molto interessante. Viene infatti a costituire un analisi dei concetti in questione ed una rappresentazione quasi pittorica delle loro relazioni reciproche. Se qualcuno dubita dell utilità dei simboli provi a scrivere per esteso senza alcun simbolo di alcun genere tutto quanto il significato delle uguaglianze seguenti le quali costituiscono alcune delle leggi fondamentali dell algebra: x+y=y+x (1) (x + y) + z = x + (y + z ) (2) x y=y x (3) (x y) z = x (y z ) (4) x (y + z ) = (x y) + (x z ) (5) Qui la (1) e la (2) vengono chiamate rispettivamente la legge commutativa e la legge associativa dell addizione, la (3) e la (4) sono le leggi commutativa ed associativa della moltiplicazione. Ad esempio se si vuol fare a meno dei simboli la (1) prende la forma seguente: Se ad un numero dato qualsiasi se ne aggiunge un secondo, il risultato è il medesimo che si otterrebbe aggiungendo al secondo numero il primo. Questo esempio dimostra come sia possibile, mediante l uso del simbolismo, compiere in modo quasi meccanico con un semplice colpo d occhio dei passaggi discorsivi che diversamente esigerebbero l intervento delle facoltà mentali superiori. [ ] Il sistema dei simboli occorre possieda una qualità importante: dovrebbe cioè essere conciso, in modo che lo si possa afferrare con un colpo d occhio e lo si possa scrivere rapidamente. Ora, non si possono raggruppare 61 6
Leggere di matematica - Matematica e simboli - Alfred North Whitehead, Gottlob Frege